Sifat-sifat Bilangan Eksponen dan contoh soalnya

Eksponen suatu bilangan menunjukkan berapa kali bilangan tersebut digunakan dalam perkalian.

Pengertian

Eksponensial adalah salah satu operasi dalam matematika, ditulis sebagai bⁿ, melibatkan dua bilangan, basis b dan eksponen atau pangkat n, dan diucapkan sebagai “b pangkat n”. Jika n adalah bilangan bulat positif, eksponen berhubungan dengan perkalian berulang bilangan pokok.

Sifat

Sifat eksponen adalah seperangkat aturan yang ditetapkan untuk menyelesaikan operasi matematika dengan pangkat.

Pangkat atau eksponen terdiri dari perkalian bilangan dengan sendirinya beberapa kali, dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut: x^y.

Bilangan yang harus dikalikan dengan dirinya sendiri disebut bilangan pokok atau basis dan berapa kali bilangan tersebut harus dikalikan disebut pangkat, yang lebih kecil dan harus ditempatkan di kanan atas basis.

Sekarang, dalam operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dengan satu pangkat atau lebih, bagaimana cara menyelesaikannya? Sifat-sifat eksponen berikut memandu kita untuk menyelesaikan operasi ini dengan cara sesederhana. Ayo lihat.

Aturan dan Sifat eksponen:

Nama aturan	Sifat	Contoh
Perkalian	a n ⋅ a m = a n + m	2 3 ⋅ 2 4 = 2 3 + 4 = 128
	a n ⋅ b n = ( a ⋅ b ) n	3 2 ⋅ 4 2 = (3⋅4) 2 = 144
Hasil bagi	a n / a m = a n – m	2 5 /2 3 = 2 5-3 = 4
	a n / b n = ( a / b ) n	4 3 /2 3 = (4/2) 3 = 8
Ekponen bersarang	( b n ) m = b n⋅m	(2 3 ) 2 = 2 3⋅2 = 64
	b n m = b ( n m )	2 3 2 = 2 ( 3 2 ) = 512
	m √ ( b n ) = b n / m	2 √ (2 6 ) = 2 6/2 = 8
	b 1 / n = n √ b	8 1/3 = 3 √ 8 = 2
Eksponen negatif	b -n = 1 / b n	2 -3 = 1/2 3 = 0,125
Eksponen Nol	b 0 = 1	5 0 = 1
	0 n = 0, untuk n > 0	0 5 = 0
Eksponen Satu	b 1 = b	5 1 = 5
	1 n = 1	1 5 = 1
Eksponen negatif		(-1) 5 = -1
Turunan Eksponen	( x n ) ‘ = n ⋅ x n -1	( x 3 ) ‘ = 3⋅ x 3-1
Integral Eksponen	∫ x n dx = x n +1 / ( n +1) + C.	∫ x 2 dx = x 2 + 1 / (2 + 1) + C.

Aturan perkalian eksponen

Aturan perkalian dengan basis yang sama

a ⁿ ⋅ a ^m = a ^{n + m}

Contoh:

2 ³ ⋅ 2 ⁴ = 2 ^{3 + 4} = 2 ⁷ = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 128

Aturan hasil kali dengan eksponen yang sama

a ⁿ ⋅ b ⁿ = ( a ⋅ b ) ⁿ

Contoh:

3 ² ⋅ 4 ² = (3⋅4) ² = 12 ² = 12⋅12 = 144

Aturan hasil bagi eksponen

Aturan hasil bagi dengan basis yang sama

a ⁿ / a ^m = a ^{n – m}

Contoh:

2 ⁵ /2 ³ = 2 ^5-3 = 2 ² = 2⋅2 = 4

Aturan hasil bagi dengan eksponen yang sama

a ⁿ / b ⁿ = ( a / b ) ⁿ

Contoh:

4 ³ /2 ³ = (4/2) ³ = 2 ³ = 2⋅2⋅2 = 8

Aturan pangkat eksponen

Aturan pangkat I

( a ⁿ ) ^m = a ^n⋅m

Contoh:

(2 ³ ) ² = 2 ^3⋅2 = 2 ⁶ = 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 64

Aturan pangkat II

_a n ^m _{= a} ( n ^m )

Contoh:

₂ 3 ² _{= 2} (3 ² ) _{= 2} (3⋅3) _{= 2} 9 _{= 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 512}

Aturan pangkat dengan radikal

^m √ ( a ⁿ ) = a ^{n / m}

Contoh:

² √ (2 ⁶ ) = 2 ^6/2 = 2 ³ = 2⋅2⋅2 = 8

Aturan eksponen negatif

b ^-n = 1 / b ⁿ

Contoh:

2 ^-3 = 1/2 ³ = 1 / (2⋅2⋅2) = 1/8 = 0,125

Bentuk Bilangan Eksponen

1) Pangkat nol

Setiap angka yang dipangkatkan 0 sama dengan 1.  Sebagai contoh,

• x⁰ = 1
• 5⁰ = 1
• 37⁰ = 1

2) Pangkat 1

Setiap angka yang dipangkat 1 sama dengan dirinya sendiri. Sebagai contoh,

• x¹ = x
• 30¹ = 30
• 45¹ = 45

3) Perkalian pangkat dengan basis yang sama

Hasil kali pangkat dengan basis identik sama dengan pangkat dari basis yang sama, dipangkatkan ke jumlah eksponen. Sebagai contoh,

2⁴ .2² .2⁴ = 2 ^{(4 + 2 + 4)} = 2¹⁰

4) Pembagian pangkat dengan basis yang sama

Ketika pangkat dengan basis yang sama dan eksponen berbeda dibagi, hasil bagi sama dengan pangkat lain dengan basis yang sama yang dipangkatkan dengan perbedaan eksponennya. Sebagai contoh,

4⁴:4² = 4 ^{(4 – 2)} = 4²

5) Perkalian pangkat dengan eksponen yang sama

Hasil kali dari dua atau lebih pangkat berbeda dengan eksponen yang sama sama dengan hasil kali basis yang dipangkatkan ke eksponen yang sama. Sebagai contoh:

3² .2² .3² = (3. 2 .3) ² = 18²

6) Pembagian pangkat dengan eksponen yang sama

Hasil bagi antara dua pangkat dengan basis berbeda dan eksponen yang sama menghasilkan hasil bagi dari basis yang dipangkatkan ke eksponen yang sama. Sebagai contoh,

8²: 2² = (8: 2) ² = 4²

7) Pangkat Eksponen 

Pangkat menghasilkan pangkat lain dengan basis yang sama dipangkatkan dengan perkalian eksponen. Sebagai contoh:

(8³) ³ = 8 ^{(3 · 3)} = 8⁹

Persamaan Eksponen

Ada dua metode untuk menyelesaikan persamaan eksponensial. Salah satu metode cukup sederhana tetapi membutuhkan bentuk persamaan eksponensial yang sangat khusus. Yang lain akan mengerjakan persamaan eksponensial yang lebih rumit tetapi terkadang bisa sedikit berantakan.

Mari kita mulai dengan melihat metode yang lebih sederhana. Metode ini akan menggunakan aturan tentang fungsi eksponensial.

Jika b^x = b^y maka x = y

Perhatikan bahwa aturan ini memang mengharuskan bilangan pokok di kedua eksponensial sama. Jika tidak, aturan ini tidak akan berguna bagi kita.

Mari kita lihat beberapa contohnya.

Contoh 1 Pecahkan masing-masing dari berikut ini.

1. 5^3x = 5^{7x − 2}
2. 4^t2 = 4^{6 − t}
3. 3^z = 9^{z + 5}
4. 4^5−9x = 18^{x − 2}

Jawaban dengan penyelesaian

1. 5^3x = 5^{7x − 2}

Pada bagian pertama ini kita memiliki basis yang sama pada kedua eksponensial sehingga tidak banyak yang harus dilakukan selain mengatur kedua eksponen sama satu sama lain dan menyelesaikan x.

3x = 7x − 2
2 = 4x
12 = x

Jadi, jika kita pasang x = 12

ke dalam persamaan maka kita akan mendapatkan angka yang sama di kedua sisi tanda sama dengan.

2. 4^t2 = 4^{6 − t}

Sekali lagi, tidak banyak yang harus dilakukan di sini selain menyetel eksponennya sama karena bilangan pokoknya sama di kedua eksponensial.

t2 = 6 − t
t2 + t − 6 = 0
(t + 3) (t − 2) = 0
⇒t = −3, t = 2

Dalam hal ini kita mendapatkan dua solusi persamaan. Itu bisa diterima jadi jangan khawatir tentang itu ketika itu terjadi.

3. 3^z = 9^{z + 5}

Sekarang, dalam kasus ini kita tidak memiliki basis yang sama sehingga kita tidak bisa hanya mengatur eksponen yang sama. Namun, dengan sedikit manipulasi sisi kanan kita bisa mendapatkan basis yang sama pada kedua eksponen. Untuk melakukan ini, yang perlu kita perhatikan adalah 9 = 3². Inilah yang kita dapatkan saat kita menggunakan aturan ini.

3^z = (3²)^{(z + 5)}

Sekarang, kita masih tidak bisa hanya menyetel eksponen sama karena ruas kanan sekarang memiliki dua eksponen. Jika kita mengingat sifat eksponen kita, kita bisa memperbaikinya.

3^z = 3^{2 (z + 5)}

Kita sekarang memiliki basis yang sama dan eksponen tunggal pada setiap basis sehingga kita dapat menggunakan sifat dan mengatur eksponennya sama. Melakukan ini menghasilkan,

z = 2 (z + 5) 
z = 2z + 10  
z = −10

Jadi, setelah semua pekerjaan itu kita dapatkan solusi dari z = −10.