Pengertian Bilangan kompleks, sifat dan contoh

Bilangan kompleks adalah bilangan yang membentuk sekelompok digit hasil penjumlahan yang dibuat antara bilangan real dan bilangan imajiner. Perlu diketahui bahwa bilangan real adalah bilangan yang dapat diekspresikan dengan menggunakan bilangan bulat, misalnya 5, 28, 21; dan bilangan imajiner adalah bilangan yang kuadratnya berbentuk negatif. Mereka diwakili oleh dua angka yang diapit tanda kurung (x dan y).

Pengertian

Bilangan kompleks adalah entitas dalam cabang matematika yang diwakili oleh sepasang bilangan real, yang pertama disebut x dan mewakili bagian nyata, dan yang kedua, disebut y, mewakili bagian imajiner.

Bilangan kompleks terdiri dari keseluruhan ekstensi dari bilangan real yang membentuk badan tertutup aljabar minimum, ini berarti bahwa bilangan tersebut dibentuk oleh semua bilangan yang dapat diekspresikan dengan bilangan bulat. Bilangan real juga mencakup semua bilangan yang dikenal dengan nama bilangan kompleks yang mencakup semua akar polinomial.

Untuk apa bilangan kompleks?

Bilangan real tidak dapat mencakup semua akar dari himpunan bilangan negatif, karakteristik yang dapat dilakukan oleh bilangan kompleks. Kekhususan ini memungkinkan bilangan kompleks untuk digunakan dalam berbagai bidang matematika, teknik, dan fisika matematika. Ini, karena mereka memiliki kemampuan untuk mewakili arus listrik dan gelombang elektromagnetik yang berbeda. Mereka banyak digunakan dalam elektronik dan juga di bidang telekomunikasi. Mereka digunakan untuk pekerjaan aljabar yang berbeda, dalam matematika murni, dalam solusi persamaan diferensial, dalam cabang aerodinamika, hidrodinamika, dan elektromagnetisme. Mereka penting dalam mekanika kuantum.

Karakteristik

Di antara karakteristik utama yang dimiliki bilangan kompleks, kita dapat menyebutkan yang berikut ini:

  • Dalam matematika mereka merupakan tubuh.
  • Mereka dianggap sebagai titik dalam bidang kompleks.
  • Berisi bilangan real dan bilangan imajiner
  • Satuan imajiner dari bilangan kompleks dikenali dengan huruf i.
  • Mereka diwakili oleh huruf itu
  • Komponen pertama diwakili oleh huruf a, dan milik bagian nyata, komponen kedua diwakili oleh huruf b, dan sesuai dengan bagian imajiner.
  • Mereka tidak mampu mempertahankan urutan seperti bilangan real.

Sejarah

Gagasan paling awal tentang orang yang mencoba menggunakan bilangan imajiner berasal dari abad ke-1. Sarjana pertama yang membuat konsep pertama bilangan kompleks adalah Heron dari Aleksandria, dan dia memulai sebelum kesulitan yang muncul ketika dia mencoba membangun sebuah piramida. Setelah bilangan negatif “dibuat”, ahli matematika mencoba mencari bilangan yang, dikuadratkan, bisa sama dengan bilangan negatif. Tidak menemukan jawaban, mereka menyerah. Pada tahun 1500, spekulasi tentang akar kuadrat dari bilangan negatif dirumuskan ulang. Rumus untuk menyelesaikan persamaan polinomial derajat 3 dan 4 ditemukan pada saat itu, dan disimpulkan bahwa diperlukan beberapa pekerjaan dengan akar kuadrat dari bilangan negatif. Pada tahun 1545, karya besar pertama dengan angka imajiner diproduksi. Descartes, seorang filsuf penting, matematikawan dan fisikawan, adalah orang yang menciptakan istilah bilangan imajiner di abad ketujuh belas dan bertahun-tahun kemudian, konsep bilangan kompleks akan terbentuk.

Bagaimana bilangan kompleks direpresentasikan

Bilangan kompleks dapat direpresentasikan dalam bidang kompleks. Bagian nyata dari kompleks direpresentasikan pada sumbu absis dan bagian imajiner harus ditempatkan pada sumbu ordinat. Dalam bidang kompleks, setiap bilangan kompleks z = a + bi diberi titik koordinat P (a, b), yang disebut afiks dari bilangan kompleks. Setiap bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai vektor OP, di mana O adalah asal koordinat dan P adalah afiks kompleks.

Sifat

Bilangan kompleks memiliki sifat yang berbeda, yang dijelaskan di bawah ini.

Sifat transitif

Jika z1 = z2 dan z2 = z3 maka z1 = z3

Sifat penjumlahan

Jumlah dari dua bilangan kompleks z1 = a + bi dan z2 = c + di didefinisikan sebagai

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i

Di antara sifat penjumlahan Bilangan kompleks kita memiliki yang berikut:

  • Sifat penutip untuk penjumlahan: Untuk z1, z2 ∈ C kita memiliki z1 + z2∈C
  • Sofat komutatif: Untuk z1, z2 ∈ C, benar bahwa: z1 + z2 = z2 + z1
  • Sifat asosiatif: Untuk setiap z1, z2, z3∈C memang benar bahwa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
  • Keberadaan unsur netral untuk penjumlahan: 0 + 0i disingkat 0 adalah unsur netral penjumlahan.
  • Keberadaan aditif atau invers kebalikan: Setiap bilangan kompleks z memiliki invers aditif unik, dilambangkan dengan −z.

Sifat perkalian

Kita mendefinisikan produk dari dua bilangan kompleks z1 = a + bi dan z2 = c + di sebagai

(a + bi) ⋅ (c + di) = (ab – bd) + (ad + bc) i

Di antara sifat perkalian Bilangan kompleks kita memiliki yang berikut:

  • Sifat penutup untuk perkalian: Untuk z1, z2∈C kita punya z1 z z2 ∈ C
  • Sifat komutatif: Untuk z1, z2 ∈ C, benar bahwa: z1⋅z2 = z2⋅z1
  • Sifat Asosiatif: Untuk setiap z1, z2, z3∈C memang benar bahwa: (z1⋅z2) ⋅z3 = z1⋅ (z2⋅z3)
  • Keberadaan unsur netral untuk perkalian: 1 + 0i disingkat 1, merupakan unsur netral perkalian.
  • Keberadaan pembalikan perkalian atau kebalikan: Setiap bilangan kompleks z, selain 0, memiliki satu pembalikan perkalian, dilambangkan dengan z – 1
  • Sifat distributif: Untuk z1, z2, z3∈C apa pun, benar bahwa: z1⋅ (z2 + z3) = z1⋅z2 + z1⋅z3

Operasi

Operasi yang dapat dilakukan menggunakan bilangan kompleks adalah sebagai berikut:

  • Penjumlahan bilangan kompleks.
  • Pengurangan bilangan kompleks.
  • Perkalian bilangan kompleks.
  • Konjugasi bilangan kompleks
  • Pembagian bilangan kompleks.

Contoh

Jumlah:

(-3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i

Pengurangan

(5 + 3i) – (3 – i) = 2 + 4i



Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *