Apa Fungsi Gamma? – Sains

Fungsi gamma adalah fungsi yang agak rumit. Fungsi ini digunakan dalam statistik matematika. Ini dapat dianggap sebagai cara untuk menggeneralisasi faktorial.

Faktorial sebagai Fungsi

Kita belajar cukup awal dalam karir matematika kita bahwa faktorial, yang didefinisikan untuk bilangan bulat non-negatif n , adalah cara untuk menjelaskan perkalian berulang. Itu dilambangkan dengan penggunaan tanda seru. Misalnya:​

3! = 3 x 2 x 1 = 6 dan 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Satu-satunya pengecualian untuk definisi ini adalah faktorial nol, di mana 0! = 1. Saat kita melihat nilai faktorial ini, kita dapat memasangkan n dengan n !. Ini akan memberi kita poin (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), dan seterusnya pada.

Jika kami merencanakan poin-poin ini, kami dapat mengajukan beberapa pertanyaan:

  • Apakah ada cara untuk menghubungkan titik-titik dan mengisi grafik untuk mendapatkan lebih banyak nilai?
  • Apakah ada fungsi yang cocok dengan faktorial untuk bilangan bulat nonnegatif, tetapi didefinisikan pada subhimpunan bilangan real yang lebih besar.

Jawaban atas pertanyaan ini adalah, “Fungsi gamma.”

Definisi Fungsi Gamma

Definisi fungsi gamma sangat kompleks. Ini melibatkan formula yang tampak rumit yang terlihat sangat aneh. Fungsi gamma menggunakan beberapa kalkulus dalam definisinya, serta angka e Tidak seperti fungsi yang lebih dikenal seperti fungsi polinomial atau trigonometri, fungsi gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar dari fungsi lain.

Fungsi gamma dilambangkan dengan huruf kapital gamma dari alfabet Yunani. Ini terlihat seperti berikut: Γ( z )

Fitur Fungsi Gamma

Definisi fungsi gamma dapat digunakan untuk menunjukkan sejumlah identitas. Salah satu yang paling penting adalah bahwa Γ( z + 1 ) = z Γ( z ). Kita dapat menggunakan ini, dan fakta bahwa Γ( 1 ) = 1 dari perhitungan langsung:

Γ( n ) = ( n – 1) Γ( n – 1 ) = ( n – 1) ( n – 2) Γ( n – 2 ) = (n – 1)!

Rumus di atas menetapkan hubungan antara faktorial dan fungsi gamma. Ini juga memberi kita alasan lain mengapa masuk akal untuk mendefinisikan nilai faktorial nol sama dengan 1.

Tapi kita tidak perlu memasukkan bilangan bulat saja ke dalam fungsi gamma. Bilangan kompleks apa pun yang bukan bilangan bulat negatif berada dalam domain fungsi gamma. Ini berarti bahwa kita dapat memperluas faktorial ke angka selain bilangan bulat nonnegatif. Dari nilai-nilai ini, salah satu hasil yang paling terkenal (dan mengejutkan) adalah Γ( 1/2 ) = √π.

Hasil lain yang mirip dengan hasil sebelumnya adalah Γ( 1/2 ) = -2π. Memang, fungsi gamma selalu menghasilkan output kelipatan akar kuadrat dari pi ketika kelipatan ganjil 1/2 dimasukkan ke dalam fungsi.

Penggunaan Fungsi Gamma

Fungsi gamma muncul di banyak bidang matematika yang tampaknya tidak berhubungan. Secara khusus, generalisasi faktorial yang disediakan oleh fungsi gamma sangat membantu dalam beberapa masalah kombinatorik dan probabilitas. Beberapa distribusi probabilitas didefinisikan secara langsung dalam fungsi gamma. Misalnya, distribusi gamma dinyatakan dalam fungsi gamma. Distribusi ini dapat digunakan untuk memodelkan interval waktu antar gempa. Distribusi t Student, yang dapat digunakan untuk data di mana kita memiliki deviasi standar populasi yang tidak diketahui, dan distribusi chi-kuadrat juga ditentukan dalam fungsi gamma.

Related Posts